Croissances comparées et intégrales 2

\begin{flushright} \textit{Lenteur du logarithme, voici qu'une intégrale\\ D'un calcul magistral nous révèle ton rythme.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 55 min)\\ Le but de cet exercice est de démontrer $\underset{x\rightarrow + \infty}{\lim} \dfrac{\text{ln}(x)}{x} = 0$ en utilisant des intégrales. On note $g$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{x}{\text{ln}(x)}$ 1) Déterminer $g'$, la dérivée de la fonction $g$ sur $]1;+\infty[$ 2) Justifier que pour tout réel $x \geq e^2$,~~$g(x) = \dfrac{e^2}{2} +\displaystyle\int_{e^2}^x \dfrac{\text{ln}(t) - 1}{(\text{ln}(t))^2}~\text{d}t$ 3) Montrer que pour tout réel $t \geq e^2$, on a : $\text{ln}(t) - 1 \geq \dfrac{\text{ln}(t)}{2}$ 4) Montrer que pour tout réel $t \geq 1$, on a : $t \geq \text{ln}(t)$ 5) Déduire des questions précédentes que pour tout réel $x \geq e^2$,~~$g(x) \geq \dfrac{e^2}{2} + \dfrac{1}{2}\big(\text{ln}(x) - 2\big)$ 6) Conclure.\\ \textbf{Correction:}