Convergence uniforme d’une suite de fonctions

\begin{flushright} \textit{Convergence uniforme, nous allons te prouver\\ mais en bonne et due forme, par calculs approuvés.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~~~~~~~temps conseillé : 25 min\\ Soit $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de fonctions définies sur $\mathbb{R}^+$ par : ~~$\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}^+,~ f_n(x) = e^{-nx}\sin(nx)$ 1) Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$ sur $\mathbb{R}^+$ 2) Soit un réel $a > 0$. Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions $(f_n)$ sur $[a~;~+\infty[$ 3) Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions $(f_n)$ sur $\mathbb{R}^+$\\ \textbf{Correction:}\\