Démonstration géométrique d’une limite trigonométrique

$\begin{flushright} \textit{Ces calculs scélérats t'irritent l'épiderme ?\\ Le cercle t'aidera à les mener à terme.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\\ Dans le repère orthonormé $(O,I,J)$, on trace le cercle trigonométrique. Soit $x$ (en radians) un angle strictement compris entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$, et $M$ le point associé sur le cercle trigonométrique. Les droites $(MA)$ et $(OA)$ sont perpendiculaires, de même que les droites $(MB)$ et $(OB)$. Les droites $(MA)$ et $(CI)$ sont parallèles. On note $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$. \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=3cm,dotstyle=+} \def\psxmin{-2} \def\psxmax{2} \def\psymin{-1.5} \def\psymax{1.5} \def\xmin{-1.3} \def\xmax{1.3} \def\ymin{-1.2} \def\ymax{1.2} \begin{pspicture}(\psxmin,\psymin)(\psxmax,\psymax) % \psframe(\psxmin,\psymin)(\psxmax,\psymax) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \pscircle[linecolor=red](0,0){3} \psline[linecolor=blue](0,0)(1,1.33) \psline[linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,0.8)(0.6,0.8) \psline[linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0.6,0)(0.6,0.8) \psline[linecolor=lightgray,linestyle=dashed](1,0)(1,1.33) \psarc{->}(0,0){1}{0}{57} \uput[d](0.4,0.16){\begin{footnotesize}$x$\end{footnotesize}} \uput[d](0.6,0){\begin{footnotesize}$A$\end{footnotesize}} \uput[l](0,0.8){\begin{footnotesize}$B$\end{footnotesize}} \uput[u](0.72,0.7){$M$} \uput[u](1,1.33){$C$} \uput[dl](0,0){$O$} \uput[dr](1,0){$I$} \uput[ul](0,1){$J$} \end{pspicture} \end{center} 1) Démontrer $IC = \tan(x)$\\ ~~\\ 2) Calculer, en fonction de $x$ : l'aire $\mathcal{A}_{OIM}$ du triangle $OIM$, l'aire $\mathcal{A}_{OIC}$ du triangle $OIC$, et l'aire $\mathcal{S}_{OIM}$ du secteur $OIM$ (portion du disque comprise entre $[OI]$ et $[OM]$, dans le sens direct).\\ ~~\\ 3) En déduire que pour tout $x \in~\big]~0~;~~\dfrac{\pi}{2}~\big[~,~1\leq \dfrac{x}{\sin(x)} \leq \dfrac{1}{\cos(x)}$\\ 4) En déduire que $\underset{h \rightarrow 0}{\lim}~~\dfrac{\sin(h)}{h} = 1$~~~~\textit{(autrement dit, que lorsque $h$ devient très proche de $0$, $\dfrac{\sin(h)}{h}$ devient très proche de $1$)}.\\ \textbf{Correction:}\\$