Irrationalité de la racine de 2

\begin{flushright} \textit{D'absurde égalité en logique vautrée,\\ Irrationalité, je puis te démontrer.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ 1) On suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel, et que son écriture irréductible est $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$, avec $p,q$ deux entiers naturels strictement positifs. Montrer que $p$ est pair. 2) En relevant une absurdité sur la parité de $q$, en déduire que $\sqrt{2}$ n'est en fait pas rationnel.\\ \textbf{Correction:}\\