Convergence d’une suite suivant son premier terme

$\LARGE \begin{flushright} \textit{Il faut en convenir : nos routes se séparent,\\ Car nos pas à venir dépendent du départ.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 40 min)\\ Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}(1+x^2)$\\ 1) Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ est croissante quel que soit $u_0$ réel. 2) Étudier sa convergence suivant la valeur de $u_0$.\\ \textbf{Correction:}\\$