La bataille de la somme

\begin{flushright} \textit{Accrétion planétaire, en quoi consistes-tu ?\\ De baryon en poussière, de poussière en fétu.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure 15 min)\\ \textit{Le titre est trompeur. Il ne s'agit pas ici d'étudier les deux batailles de la Première Guerre Mondiale qui portent ce nom (1916, 1918). Non, nous allons nous-mêmes batailler avec les sommes. De cette manière, nous aiderons un ours en peluche à vaincre les monstres peuplant les cauchemars de la petite fille qui le possède. Vous ne voyez pas le lien? A vrai dire, à ce stade de l'écriture, moi non plus...}\\ \textbf{I}~~\textit{Retrouvailles à l'infini}\\ Cette petite fille est assez spéciale, et ses cauchemars aussi... Dans son premier cauchemar, une distance d'un mètre la sépare de son nounours. Elle fait alors un pas de longueur la moitié de cette distance et s'arrête. Puis elle fait un pas de longueur la moitié du dernier pas. Et ainsi de suite. Comment expliquer mathématiquement que la distance qui la sépare de son nounours tend vers $0$? \textit{Indication: si le nounours pouvait penser à la somme d'une suite géométrique, ce ne serait pas mal...}\\ \textbf{II}~~\textit{Quand l'infiniment petit donne l'infiniment grand}\\ La petite fille se réveille en sursaut. Elle pense avoir compris que si la somme positive de la partie I convergeait, c'était parce qu'on rajoutait à chaque fois un terme de plus en plus petit et qui tendait vers $0$. Mais le nounours n'en est pas si sûr... Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}$ 1) Montrer que pour tout entier $k \geq 2$ :~~$\int_{k}^{k+1}\dfrac{1}{t}dt\leq \dfrac{1}{k}$ 2) En déduire que pour tout entier $n\geq 1$,~~$\int_{2}^{n+1}\dfrac{1}{t}dt + 1\leq u_n$ 3) En déduire la limite de la suite $(u_n)$. Que peut répondre le nounours à la petite fille?\\ \textbf{III}~~\textit{Quand l'infiniment petit ne donne pas l'infiniment grand}\\ Cependant, le nounours tient à rassurer la petite fille. Si on prend maintenant $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}$, on peut montrer que la suite $(v_n)$ converge. En vous inspirant de la partie précédente, montrez-le.\\ \textbf{IV}~~\textit{Dragon complexe}\\ Ayant compris que la convergence des sommes positives dépendait du terme général de la somme ($\frac{1}{k}$ ou $\frac{1}{k^2}...$), la petite fille se rendort tranquillement. Pas pour longtemps... Un dragon apparaît dans ses rêves, sous la forme de la suite $(w_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $w_n=\sum_{k=0}^{n}r^k\cos{(k\theta)}$, avec $\theta$ un réel quelconque et $r \in [0;1[$. N'écoutant que son courage, le nounours va montrer à ce dragon à quel point il est limité.\\ Exprimer, en fonction de $\theta$ et $r$, la limite de la suite $(w_n)$. \textit{Indication (ou épée de notre nounours): le résultat que nous connaissons sur les sommes de suites géométriques s'applique aussi aux suites géométriques complexes}\\ \textbf{Correction:}\\