Centres confondus et triangle équilatéral

\begin{flushright} \textit{Dans un sens moins classique, savons-nous raisonner ?\\ Pour de telles pratiques, il faut avoir du nez.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\\ Vous êtes censés savoir que si un triangle est équilatéral, alors son centre de gravité (point d'intersection des médianes), le centre de son cercle circonscrit (point d'intersection des médiatrices) et son orthocentre (point d'intersection des hauteurs) sont confondus. Le but de cet exercice est de s'intéresser à une sorte de réciproque. On veut montrer que si le centre de gravité d'un triangle et le centre du cercle circonscrit à ce triangle sont confondus, alors ce triangle est équilatéral.\\ Soit ABC un triangle non plat. On suppose que le point G est à la fois son centre de gravité et le centre de son cercle circonscrit. Soient I le milieu de [AB], J le milieu de [AC] et K le milieu de [BC]. \textit{Une figure peut vous aider...} On rappelle que le centre de gravité d'un triangle quelconque est situé aux $\dfrac{2}{3}$ de chaque médiane en partant du sommet correspondant. Autrement dit : $\vect{\text{AG}} = \dfrac{2}{3}\vect{\text{AK}}$,~$\vect{\text{BG}} = \dfrac{2}{3}\vect{\text{BJ}}$~~et $\vect{\text{CG}} = \dfrac{2}{3}\vect{\text{CI}}$.\\ 1) Montrer que $(\text{AK})$ est à la fois médiane issue de A et médiatrice de [BC]. De la même manière, on peut montrer que $(\text{BJ})$ est à la fois médiane issue de B et médiatrice de [AC], et que $(\text{CI})$ est à la fois médiane issue de C et médiatrice de [AB]. 2) Montrer que $(\text{AK})$,~$(\text{BJ})$~et $(\text{CI})$ sont aussi les hauteurs du triangle ABC. 3) Montrer que AK = BJ = CI 4) a) Exprimer l'aire de ABC de 3 façons différentes. b) Conclure.\\ \textbf{Correction:}\\