Boules, probabilités, et espérance

$\begin{flushright} \textit{Cahier en contrebas au milieu de la foule,\\ Cet exo de proba lui fait perdre la boule.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(d'après Pondichéry avril 2002)\hfill Temps conseillé : 55 min\\ Une urne contient $n$ boules blanches ($n \in \N$ et $n \geqslant 2$), 5 boules rouges et 3~boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne . 1) Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ? 2) On note $p(n)$ la probabilité de tirer deux boules de même couleur. Montrer que $p(n) = \dfrac{n^2 -n + 26}{(n + 8)(n + 7)}$. 3) Calculer $p(4)$. On supposera désormais $n = 4$. 4) Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l'urne. Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l'urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros. Pour chaque tirage : \begin{itemize} \item si les deux boules sont de même couleur, il reçoit alors 40 euros, \item si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. \end{itemize} On appelle gain du joueur la différence, à l'issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif). On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au gain (en euros) du joueur.\\ a) Quelles sont les valeurs possibles pour $X$ ?\\ b) Déterminer la loi de probabilité de $X$.\\ c) Calculer l'espérance de $X$. Ce jeu est-il favorable au joueur ?\\ \textbf{Correction :}\\$