Dérivée d’une composée de fonctions

$\begin{flushright} \textit{Ces faquins ont saigné la formule maîtresse\\ Jadis bien enseignée à toutes les TS.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~\textit{(De la Première S à la Terminale S)}\hfill Temps conseillé : 1 heure\\ L'objectif de cet exercice est de déterminer, pour deux fonctions $f$ et $g$ dérivables \textit{(ici, on considérera qu'elles le sont sur $\mathbb{R}$ pour simplifier les choses)}, la dérivée de la fonction composée $k$ définie par $k(x) = g(f(x))$ pour tout réel $x$.~~~\textit{La fonction $k$ est aussi notée $g \circ f$} \textit{A l'issue de cet exercice, on aura montré la formule suivante, très utile pour bien des calculs de dérivées : $(g\circ f)'(x) = f'(x) \times g'\big(f(x)\big)$}\\ On dit qu'une fonction $f$ est continue en $x$ si et seulement si $\underset{h\rightarrow 0}{\lim}~f(x+h) = f(x)$. Une fonction est continue sur $\mathbb{R}$ est une fonction continue en tout $x \in \mathbb{R}$. Enfin, on admet que toute fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ est continue sur $\mathbb{R}$.\\ Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, et soit $x$ un réel. Soit $k$ la fonction composée $k = g\circ f$ définie plus haut.\\ 1) Pour un réel $h \neq 0$, on pose $h_2 = f(x+h) - f(x)$\\ a) Exprimer $\dfrac{g(f(x+h)) - g(f(x))}{f(x+h) - f(x)}$ en fonction de $h_2$ (sans $h$ dans l'expression finale obtenue).\\ b) Quand $h$ tend vers $0$, vers quoi tend $h_2$ ? 2) En déduire que la fonction $k$ est dérivable en tout réel $x$, et qu'on a : $k'(x) = f'(x) \times g'\big(f(x)\big)$ 3) Application : calculer la dérivée de la fonction $p$ (dérivable sur $\mathbb{R}$) définie de la manière suivante :\\ $p(x) = (3x^2 - 7)^5$\\ \textbf{Correction :}\\$