Inégalité de Cauchy-Schwarz

\begin{flushright} \textit{Mais que me dit mon flair, que ces marchands endorment ?\\ Que leurs produits ont l'air en deçà de la norme.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~\textit{De la Première S à la Terminale S}\hfill Temps conseillé : 55 min\\ Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs~~~~\textit{(dans un espace de dimension quelconque, mais vous pouvez imaginez que ce sont des vecteurs du plan pour vous " rassurer ", même si ça ne jouera pas sur les calculs)} Le but de cet exercice est double : - démontrer l'inégalité $|\vec{u}.\vec{v}| \leq ||\vec{u}||~||\vec{v}||$~~~~~\textit{(c'est l'inégalité de Cauchy-Scwharz)} \textit{(où $|\vec{u}.\vec{v}|$ est la valeur absolue du produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ et $||\vec{u}||$ est la norme de $\vec{u}$)} - démontrer que l'égalité $|\vec{u}.\vec{v}| = ||\vec{u}||~||\vec{v}||$ est vraie si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires\\ 1) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = ||t\vec{u} + \vec{v}||^2$\\ a) Vérifier l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans le cas où $\vec{u}$ est le vecteur nul. Par la suite, on supposera $\vec{u} \neq 0$\\ b) Montrer que pour tout réel $t$, $f(t) = t^2||\vec{u}||^2 + 2 t\vec{u}.\vec{v} + ||\vec{v}||^2$\\ c) Quelle est la nature de la fonction $f$ ? Quel est son signe ?\\ d) En déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz. 2) On veut maintenant montrer que cette inégalité devient égalité si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.\\ a) Montrer que si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, on a : $|\vec{u}.\vec{v}| = ||\vec{u}||~||\vec{v}||$\\ b) Réciproquement, si $|\vec{u}.\vec{v}| = ||\vec{u}||~||\vec{v}||$, que dire de la fonction polynôme $f$ ? En déduire que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.\\ c) Conclure.\\ \textbf{Correction :}\\