Introduction au raisonnement par récurrence

$\begin{flushright} \textit{Il faisait beau hier. Il fait beau aujourd'hui.\\ Ce temps bien temporaire en erreur nous induit.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 55 min)\\ Soit un nombre réel $x$ tel que $x + \dfrac{1}{x}$ est un entier relatif~~($x + \dfrac{1}{x} \in \mathbb{Z}$). 1) Montrer que $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ est aussi un entier relatif.~~~~ \textit{Indication : on pourra s'intéresser à $(x+\dfrac{1}{x})^2$}\\ 2) Après avoir montré que $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ était un entier relatif, Sami réussit à montrer que $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ aussi est un entier relatif.\\ a) Il en conclut que pour tout $n \in \mathbb{N}$, la propriété $ P_n : \text{"}x^n + \dfrac{1}{x^n}~\text{est un entier relatif"}$ est vraie. Que pensez-vous de son raisonnement ?\\ b) Nabil n'est pas d'accord avec le raisonnement de Sami. Il veut lui donner un exemple d'une propriété $Q_n$ vraie pour les premiers $n$ mais fausse à partir d'un certain rang. Donnez-lui un exemple d'une telle propriété. 3) Pour montrer qu'une propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$, on peut utiliser un raisonnement par récurrence. Il consiste en trois étapes :\\ - il faut d'abord montrer que $P_0$ est vraie (c'est-à-dire que la propriété est vraie pour $n=0$). C'est ce qu'on appelle l'initialisation.\\ - il faut ensuite montrer que si pour un certain entier $n$, $P_n$ est vraie, alors $P_{n+1}$ est vraie aussi. C'est ce qu'on appelle l'hérédité. Elle permet de s'assurer que la véracité de la propriété est conservée en passant d'un rang au rang suivant.\\ - on peut enfin en conclure que $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.\\ a) Soit $q$ un réel différent de $1$. Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n$ la somme $S_n = 1 + q + q^2 + ... + q^n$. (Ainsi, $S_0 = 1,~S_1 = 1 + q,~S_2 = 1 + q + q^2$ etc...). En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel $n$, la propriété $ P_n : \text{"}~S_n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}~\text{"}$ est vraie.\\ b) Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ la somme $A_n = 0+ 1 + 2 + ... + n$. (Ainsi, $A_0 = 0,~A_1 = 1,~A_2 = 3$ etc...) En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel $n$,~$A_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$\\ \textbf{Correction:}\\$