Introduction au nombre dérivé – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{La pente entre deux points ? Je sais, c'est dans la poche !\\ Voyons ce qu'il advient quand ces points se rapprochent.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 35 min)\\ On note $f$ la fonction carré (définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$), et $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij. Soit $h$ un nombre réel non nul. Soit A le point d'abscisse $1$ sur la courbe $C_f$, et soit $\text{A}_h$ le point d'abscisse $1 + h$ sur la courbe $C_f$. 1) Dans cette question, on prend $h = \dfrac{1}{4}$. Déterminer le coefficient directeur $a_h$ de la droite $(\text{A}\text{A}_h)$, puis une équation de cette droite. 2) Même question en prenant $h = \dfrac{1}{10}$. 3) Quand $h$ devient proche de $0$, vers quelle valeur le coefficient directeur de $(\text{A}\text{A}_h)$ a-t-il l'air de tendre ? 4) On revient dans le cas général ($h$ est un réel non nul dont on ne connaît pas la valeur). Exprimer le coefficient directeur de la droite $(\text{A}\text{A}_h)$ en fonction de $h$~~\textit{(en vous débrouillant pour qu'il n'y ait plus de fraction dans l'expression finale)}. Cette expression conforte-t-elle l'intuition de la question 3 ? 5) Soit $x$ un réel quelconque. On considère maintenant $M$, le point d'abscisse $x$ sur la courbe $C_f$, et $M_h$, le point d'abscisse $x+h$ sur la courbe $C_f$. Exprimer le coefficient directeur $c_h$ de la droite $(\text{M}\text{M}_h)$ en fonction de $x$ et $h$. Vers quoi ce coefficient tend-il quand $h$ devient proche de $0$ ? \textit{Le résultat est appelé nombre dérivé de la fonction carré au point d'abscisse $x$.}\\ \textbf{Correction:}\\$