Probabilité d’une union d’événements

\begin{flushright} \textit{Entre U à l'endroit et U la tête en bas,\\ Les lettres U louvoient au pays des probas.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~\hfill Temps conseillé : 25 min\\ Soient $A$ et $B$ deux événements. On rappelle que la probabilité $P(A\cup B)$ de l'union $A\cup B$ est donnée par la formule suivante : $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$\\ où $A\cap B$ est l'intersection entre les deux événements $A$ et $B$.\\ 1) Montrer qu'on a la formule suivante pour l'union de trois événements $A\cup B\cup C$ : $P(A\cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B \cap C)$\\ 2) $50 \%$ des personnes présentes dans un hall d'aéroport ont un passeport allemand. $40 \%$ ont un passeport belge, et $30 \%$ ont un passeport canadien. $20 \%$ des personnes présentes dans ce hall ont les passeports allemand et belge. $10 \%$ des personnes présentes dans ce hall ont les passeports allemand et canadien. $10 \%$ des personnes présentes dans ce hall ont les passeports belge et canadien. Enfin, $2 \%$ des personnes présentes dans ce hall ont les trois passeports allemand, belge, et canadien. En prenant une personne au hasard dans ce hall d'aéroport, quelle est la probabilité de tomber sur une personne qui a au moins l'un des passeports suivants : allemand, belge, canadien ?\\ \textbf{Correction :}\\