Calcul d’une somme par télescopage

$\LARGE \begin{flushright} \textit{Réaction à la chaîne : des termes disparaissent\\ Pour alléger ma peine et flatter ma paresse.} \end{flushright}~~\\ \Huge \textbf{Énoncé:}~~~~~~\textit{De la Terminale à la prépa}\hfill(Temps conseillé : 20 min)\\ Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par\\ $S_n = \sum\limits_{k=1}^n~\dfrac{1}{k(k+1)}$ Autrement dit, $S_1 = \dfrac{1}{1(1+1)}$,~~$S_2 = \dfrac{1}{1(1+1)}+\dfrac{1}{2(2+1)}$,\\ $S_3 = \dfrac{1}{1(1+1)}+\dfrac{1}{2(2+1)} + \dfrac{1}{3(3+1)}$...\\ ~~\\ On peut noter (de manière un peu abusive puisque ce n'est techniquement vrai que pour $n>2$) : $S_n = \dfrac{1}{1(1+1)} + \dfrac{1}{2(2+1)} + ... + \dfrac{1}{n(n+1)}$ 1) Montrer que pour tout entier $k \geq 1$,~$\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$ 2) En déduire la limite de la suite $(S_n)$\\ \center{\textbf{Correction:}}\\$

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