Formule du triangle de Pascal – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{Nuances débonnaires, infinité d'appâts !\\ On a l'art du binaire ou bien on ne l'a pas.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 25 min)\\ On rappelle que pour tout entier naturel $n$ non nul, $n!$ est le produit des entiers consécutifs de $1$ jusqu'à $n$ (et par convention, $0! = 1$). De même, on rappelle que pour tout entier naturel $n$, pour tout entier naturel $k\leq n$, $n \choose k$ est le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, et $n \choose k$ $= \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$\\ Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $k \leq n-1$\\ 1) Démontrer par le calcul : $n \choose k$ $+$ $n \choose k+1$ $=$ $n+1 \choose k+1$~~~~~~\textit{(formule du triangle de Pascal)}\\ 2) Soit $E$ un ensemble à $n+1$ éléments et soit $a$ un élément de $E$. On s'intéresse au nombre de parties à $k+1$ éléments de $E$.\\ a) Combien y a-t-il de parties à $k+1$ éléments de $E$ contenant $a$ ? Combien y a-t-il de parties à $k+1$ éléments de $E$ ne contenant pas $a$ ?\\ b) Retrouver la formule du triangle de Pascal.\\ \textbf{Correction:}\\$