Équitation différentielle

\LARGE \begin{flushright} \textit{Colère qu'il retient. C'est la lente épopée\\ du cheval qu'on retient quand il veut galoper.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\hfill\textit{}\\ Un cavalier s'élance sur l'axe des abscisses à l'instant $t = 0$. A chaque instant $t$ (en secondes), on note $y(t)$ sa position (en mètres) sur l'axe des abscisses.\\ Sur $]0~;~+\infty[$, $t^2y''$ est égale à la valeur absolue de la différence entre la vitesse instantanée $y'$ du cavalier et sa vitesse moyenne depuis son départ (condition 1).\\ On suppose de plus $y(0) = 0$, et que $y$ est continue sur $[0~;~+\infty[$. 1) Démontrer que la fonction $y_1$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $y_1(t) = t$ vérifie toutes les conditions ci-dessus. 2) Démontrer que si une fonction $y$ continue sur $[0~;~+\infty[$ et nulle en $0$ vérifie la condition 1, alors elle est solution sur $]0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle (E) : $t^2y'' = y' - \dfrac{1}{t}y$ 3) Sachant qu'au bout d'une seconde, le cavalier est à une abscisse de 5 mètres, et qu'au bout de deux secondes, il est à une abscisse de 15 mètres, déterminer sa position au bout de trois secondes.~~\textit{On pourra utiliser la méthode de Lagrange, c'est-à-dire chercher une solution $y_2$ de $(E)$ de la forme $y_2(t) = z(t)y_1(t)$ avec $z$ non constante}\\ \textbf{Corrig\'e:}\\