Inversibilité et diagonalisabilité d’une matrice aléatoire

$\begin{flushright} \textit{Aux taupins de combat, de défis assoiffés :\\ algèbre et puis proba, le tout dans vos cafés.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\hfill\textit{d'après agrégation externe spéciale 2019}\\ Soient $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ et $Y$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p \in~]0~;1[$. $ X$ et $Y$ sont indépendantes. On considère la matrice aléatoire $A = \begin{pmatrix} X & X+Y-1\\ 0 & Y-1 \end{pmatrix}$ 1) Calculer la probabilité que $A$ soit inversible. 2) Déterminer la loi de la variable aléatoire $\text{rg}(A)$. 3) Calculer la probabilité que $A$ soit diagonalisable.\\ \textbf{Correction:}\\$