Intégrales, exponentielles, et changement de variable

$\begin{flushright} \textit{Donne-nous des indices, valse des primitives,\\ Dont tire bénéfice une plume attentive.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~(temps conseillé : 1 h 30 min)\hfill d'après bac S Liban, mai 2016 (sauf partie C)\\ On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{1 - x}}.$\\ \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1]. \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + \text{e}}$. \item Montrer alors que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = \ln (2) + 1 - \ln (1 + \text{e})$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $n \in \mathbb{N}$. On considère les fonctions $f_n$ définies sur [0~;~1] par: $f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\text{e}^{1 - x}}.$ On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. On considère la suite de terme général $u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.$ \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et préciser la valeur de $u_0$. \item Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. \item La suite $\left(u_n\right)$ admet-elle une limite ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$. Soient $K$ et $L$ deux réels tels que $K$ soit un réel non nul. \begin{enumerate} \item Montrer l'égalité suivante : $\displaystyle\int_{a}^{b} g(K x+ L)\:\text{d}x = \dfrac{1}{K}\displaystyle\int_{K a + L}^{K b + L} g(x)\:\text{d}x$.\\ \textit{Indication : on pourra appeler $G$ une primitive de $g$}. \item $f$ est la fonction de la partie A. Donner, en justifiant, $\displaystyle\int_{-1}^{0} f(-x)\:\text{d}x$ et $\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{4}} f(4x)\:\text{d}x$\\ \end{enumerate} \textbf{Correction:}\\$