Trigonométrie (et un peu de complexes)

$\begin{flushright} \textit{Il faut, pour éviter que le temps ne te piège,\\ Savoir raison garder quand les fonctions t'assiègent.\\} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 1 heure)\hfill \textit{d'après Mines 2008 Maths 2 (PC)}\\ Soit $p$ une constante réelle telle que $0 < p < 1$ et soit $f$ la fonction qui à tout nombre réel $x$ associe le complexe $f(x) = p^2\cos(x) - ip\sin(x) + 1 - p^2$\\ 1) On rappelle que pour tous réels $a$ et $b$, $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.\\ a) Montrer que pour tout réel $x$,~$\sin^2(x) = \dfrac{1}{2}\big(1 - \cos(2x)\big)$\\ b) En déduire que pour tout réel $x$,~$\sin^4\big(\dfrac{x}{2}\big) = \dfrac{\big(1 - \cos(x)\big)^2}{4}$\\ 2) Établir que pour tout réel $x$, $\big|f(x)|^2 = 1 - 4(p^2 - p^4)\sin^4\big(\dfrac{x}{2}\big)$\\ 3) En déduire que $|f(0)| = 1$ et, que, pour tout $x \in ]0~;~\pi]$,~$\big|f(x)\big| < 1$\\ 4) Montrer que pour tout réel $p \in ]0~;~1[$, $p^2 - p^4 \leq \dfrac{1}{4}$\\ \textbf{Correction:}\\$