Trigonométrie, logarithme et intégrales

$\begin{flushright} \textit{Cos, ln, et sinus dans ce train de l'horreur !\\ C'est pour qu'au terminus, ils vous fassent moins peur.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 45 min)\\ Soient $f_1$ et $g_1$ les fonctions définies sur $]0~;~+\infty[$ par\\ $g_1(t) = t\cos(\text{ln}(t))$ et $f_1(t) = \cos(\text{ln}(t)) - \sin(\text{ln}(t))$ 1) Montrer que $g_1$ est une primitive de $f_1$. 2) De même, trouver une primitive $g_2$ de la fonction $f_2$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par\\ $f_2(t) = \cos(\text{ln}(t)) + \sin(\text{ln}(t))$ 3) En déduire les valeurs de $\displaystyle\int_{1}^2\cos(\text{ln}(t))~\text{d}t$ et $\displaystyle\int_{1}^2\sin(\text{ln}(t))~\text{d}t$ 4)a) Justifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[1,2]$,~$\cos(\text{ln}(t)) \geq 0$~et~$\sin(\text{ln}(t)) \geq 0$.\\ b) En déduire une interprétation graphique du résultat de la 3).\\ \textbf{Correction:}\\$