Un nombre de Fermat non premier – Ayoub et les maths

$\begin{flushright} \textit{D'observations tronquées, la fausse idée germa :\\ Mes nombres sont premiers, conjectura Fermat.} \end{flushright} \textbf{Énoncé:}~~~~~~(temps conseillé : 30 min)\\ Pour tout entier naturel $n$, on pose $F_n = 2^{2^n} + 1$. Les $F_n$ sont appelés nombres de Fermat. 1) Vérifier que $F_0$, $F_1$, $F_2$ et $F_3$ sont premiers. 2) On veut montrer que $F_5$ n'est pas premier.~~(\textit{Remarquons : $641 = 2^4 +5^4 = 5\times 2^7 + 1$)}\\ a) Montrer que $641$ divise $2^{32} + 5^4 \times 2^{28}$\\ b) Montrer que $641$ divise $5^4 \times 2^{28} - 1$\\ c) En déduire que $641$ divise $F_5$. Conclure.\\ \textbf{Correction:}\\$